请写出基于 Sentence-BERT 的多样性指标公式，并说明为何使用余弦相似度而非欧氏距离。
解读
国内大模型落地场景（如智能客服、内容创作、推荐系统）普遍要求生成结果既要相关又要不重复。面试官通过此题考察两点：
- 能否把“多样性”量化成可落地的指标，直接嵌入 LLMOps 持续监控；
- 是否理解 Sentence-BERT 语义空间的几何特性，从而在面试现场给出工程化权衡，而非背公式。
知识点
- Sentence-BERT 输出：每条文本对应一个 768 维或 1024 维的单位向量（已 L2 归一化）。
- 多样性指标本质：对候选集合 {s1,…,sn} 的嵌入 {v1,…,vn} 做平均两两距离，越大越多样。
- 余弦距离 = 1 − cosθ，θ 为两向量夹角；欧氏距离 = ‖vi − vj‖₂。
- 归一化后，余弦距离与欧氏距离呈单调关系：‖vi − vj‖₂ = √(2−2cosθ)，但余弦计算量小、数值稳定性好，且对向量模长不敏感，更适合线上实时批处理。
答案
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多样性指标公式（面试现场可直接写）：
Diversity = 1 − 1/C(n,2) · Σ_{1≤i<j≤n} (vi·vj)
其中 vi、vj 为 Sentence-BERT 输出的单位向量，· 表示内积，C(n,2) 为组合数。
该公式等价于平均余弦距离 1 − cosθ，范围 [0, 1]，0 表示完全重复，1 表示正交即最大差异。 -
使用余弦相似度而非欧氏距离的三条理由：
① 向量已归一化：Sentence-BERT 训练目标本身把语义差异压缩到球面上，模长无意义，余弦直接度量“方向”差异即可。
② 计算效率：内积一次矩阵乘法即可得到 n×n 相似度矩阵，GPU 并行友好；欧氏距离需额外开方，在百亿级调用场景下延迟增加 10% 以上。
③ 数值稳定性：余弦距离天然落在 [0, 2] 区间，无需再次归一化即可与业务阈值（如多样性≥0.7）对齐，方便 LLMOps 告警规则配置。
拓展思考
- 线上实时去重：可把多样性指标嵌入推理服务，先对 Beam Search 产生的 k 条候选计算 D，若 D<τ 则触发重排序策略（如温度采样 + 重复惩罚），保证返回列表既高分又多样。
- 多语言场景：中文语料常含“的、了”等高频虚词，Sentence-BERT 会将其压缩到球面极小区，此时可再引入TF-IDF 权重修正余弦，防止虚词拉低多样性得分。
- 与 Rouge/BLEU 互补：多样性只衡量“不重复”，不衡量“相关”，实际 LLMOps 监控面板需联合曝光 Diversity、Rouge-L、 toxicity 三维指标，才能闭环控制大模型生成质量。