计算弹性体系的位移场和应变场的数学推导

对于弹性体系，计算其位移场和应变场主要基于线性弹性理论。该理论的基本假设包括小变形、材料的连续性和均匀性。在这些假设下，位移和应变之间的关系可以通过应变-位移关系式来描述，而内力与外力之间的关系则由平衡方程来描述。此外，还需要考虑材料的本构关系，即应力-应变关系。

1. 应变-位移关系

在笛卡尔坐标系下，弹性体的位移场可以表示为

$u(x, y, z)$, $v(x, y, z)$, $w(x, y, z)$,

其中 $u$, $v$, $w$ 分别是沿 $x$, $y$, $z$ 方向的位移。根据应变-位移关系，弹性体的应变分量可以表示为：

• 正应变（沿坐标轴方向的伸长或缩短）

  $\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}$, $\varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}$, $\varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z}$

• 切应变（剪切变形）

  $\gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}$, $\gamma_{yz} = \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}$, $\gamma_{zx} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z}$

这些表达式是基于小变形假设下的线性化公式。

2. 本构关系

在小变形假设下，材料的应力-应变关系通常遵循胡克定律：

$\sigma_x = E \left(\varepsilon_x - \nu(\varepsilon_y + \varepsilon_z)\right)$ $\sigma_y = E \left(\varepsilon_y - \nu(\varepsilon_z + \varepsilon_x)\right)$ $\sigma_z = E \left(\varepsilon_z - \nu(\varepsilon_x + \varepsilon_y)\right)$ $\tau_{xy} = G\gamma_{xy}$, $\tau_{yz} = G\gamma_{yz}$, $\tau_{zx} = G\gamma_{zx}$

其中 $E$ 是弹性模量，$\nu$ 是泊松比，$G$ 是剪切模量。

3. 平衡方程

对于三维弹性体，静态平衡方程可以表示为：

$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + f_x = 0$ $\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z} + f_y = 0$ $\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + f_z = 0$

其中 $f_x$, $f_y$, $f_z$ 是外力密度在 $x$, $y$, $z$ 方向上的分量。

解决过程

1. 建立数学模型：根据问题的具体情况（例如，加载条件、边界条件等），建立相应的数学模型，即定义位移场、应变场和应力场。
2. 代入基本方程：将应变-位移关系式代入本构关系，再将得到的应力表达式代入平衡方程中，形成一个关于位移场的偏微分方程组。
3. 求解方程：利用数值方法（如有限元法）或解析方法求解该偏微分方程组，得到位移场的解。
4. 计算应变场：根据位移场的解，利用应变-位移关系式计算应变场。

示例

假设一个简单的平板，长度为 $L$，厚度为 $t$，受到均匀分布的载荷 $q$ 作用。平板的边界条件为两端简支，即在两端没有垂直位移和旋转。根据上述理论，可以建立如下方程：

• 位移场：$u(x, y) = 0$（水平方向无位移），$v(x, y) = v(x)$（垂直位移只与 $x$ 有关）
• 应变场：$\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 0$，$\varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y} = 0$，$\gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x}$
• 应力场：$\sigma_x = 0$，$\sigma_y = 0$，$\tau_{xy} = G\gamma_{xy} = G\frac{\partial v}{\partial x}$

利用简支边界条件和均匀分布载荷条件，可以求解出位移场 $v(x)$，进而计算出应变场和应力场。

通过上述步骤，可以系统地计算弹性体系的位移场和应变场，为工程设计和分析提供重要的理论基础。